Формулы Крамера

Система $Ax = b$ называется **крамеровой**, если $A$ - квадратная (число уравнений равно число неизвестных) и $\det A \neq 0$

Пусть $A$ — квадратная матрица $n \times n$ и $b$ — вектор-столбец. Если определитель $\Delta = \det A \neq 0$, то система линейных уравнений $A x = b$ имеет единственное решение, компоненты которого $x_i$ находятся по формулам: $$ x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta} \quad (i=1, \dots, n) $$ где $\Delta_i$ — определитель матрицы $A_i$, полученной из матрицы $A$ заменой $i$-го столбца на столбец $b$.

**Существование** $\Delta \neq 0 \implies r(A) = n \implies r(\mathcal{A}) = n$, а значит существует $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$, такой, что $\mathrm{Im}~ \mathcal{A} = \mathbb{R}^{n}$, а значит $\forall{b}~~ \exists{x}\mathpunct{:}~~ \mathcal{A}x = b$. Следовательно решение $Ax = b$ существует. **Единственность** Предположим, $Ax_1 = b$ и $Ax_2 = b$. Тогда $A(x_1 - x_2) = 0$. Так как $\det A \neq 0$, однородная система $Ay=0$ имеет только тривиальное решение $y=0$. Следовательно, $x_1 - x_2 = 0$, то есть $x_1 = x_2$. **Формула Крамера** Покажем, что $x_k = \dfrac{\Delta_k}{\Delta}$ для $k=1, \dots, n$ удовлетворяет системе $Ax=b$. Рассмотрим $i$-ю строку системы: $\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik} x_k = b_i$. Подставим $x_k$: $$ \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \dfrac{\Delta_k}{\Delta} = \dfrac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \Delta_k \qquad (\dagger)$$ Матрица $A_k$ получается из $A$ заменой $k$-го столбца столбцом $b = (b_1, \dots, b_n)^T$. Разложим определитель $\Delta_k = \det A_k$ по $k$-му столбцу: $$ \Delta_k = \sum_{j=1}^{n} b_j \mathbf{A}_{jk} $$ где $\mathbf{A}_{jk}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{jk}$ матрицы $A$. Так как все столбцы, кроме вычеркнутого, одинаковы, дополнение для ${} A_{k}$ совпадает с дополнением для $A$. Значит: $$(\dagger) = \dfrac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \Delta_k = \dfrac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \left( \sum_{j=1}^{n} b_j \mathbf{A}_{jk} \right) = \dfrac{1}{\Delta} \sum_{j=1}^{n} b_j \left( \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \mathbf{A}_{jk} \right) \qquad (*)$$ Внутренняя сумма $\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik} \mathbf{A}_{jk}$ является: - $\det A = \Delta$, если $j=i$ (разложение по строке) - $0$, если $j \neq i$ (фальшивое разложение). Следовательно, $$(*) = \dfrac{1}{\Delta} \sum_{j=1}^{n} b_j \left( \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \mathbf{A}_{jk} \right) = \dfrac{1}{\Delta} b_i \cdot \Delta + 0 = b_i $$ Это означает, что $(Ax)_i = b_i$ для всех $i=1, \dots, n$, а значит $Ax=b$. $\square$